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3次元诱电体球のミー散乱
光と粒子の相互作用をモデルリングするための主要な手法の1つである惭补虫飞别濒濒方程式に対する惭颈别の解は、均质な球体による平面波の散乱を表现しています。より広义には、散乱球のサイズが光の波长と同程度である场合にミー散乱という表现が一般的に使用され、より小さいサイズ(レイリー散乱)または、より大きいサイズ(光学散乱)を指すためのものと区别されています。レイリー散乱や光散乱では、惭颈别理论の简単で优れた近似式が存在し、物理的な挙动を説明するのに十分です。しかし、ミー散乱に関しては、単纯な近似は存在せず、球面多极子部分波の无限级数の形をとる完全な解析解が必要とされます。ミー散乱は、大気学、癌の検出と治疗、メタマテリアル、寄生虫学など、幅広い用途で利用されています。
RSoftのFDTDベースのMaxwell方程式ソルバーであるFullWAVEは、ミー散乱を直接シミュレーションすることができ、Mie理論との優れた比較結果を得ることができます。本事例では、3次元诱电体球のミー散乱をシミュレーションしています。
诱电体球
ミー散乱のシミュレーションでは、球体によって散乱される電磁場を評価するためにEnclosed launchの励起タイプを利用します。Enclosed launchでは、球体を囲む密閉された領域中で平面波を利用します。球体によって散乱されたフィールドのみが伝播し、散乱されない光は領域境界で吸収されます。球体の周囲には、散乱されたフィールドと散乱されないフィールドの両方が存在します。図1は、球体と球体で囲まれた境界の図です。
図1:
Enclosed launch領域(黄)に囲まれた3次元诱电体球(赤)
この事例では、表1に示すパラメータを持つ诱电体球からのミー散乱をシミュレーションします。図2には、球体の屈折率プロファイルと、定常状態の電界振幅のコンタープロットを示します。
球の直径 |
8.0um |
球体の屈折率 |
1.2(実部) 0.0(虚部) |
背景材料の屈折率 |
1(空気) |
波长 |
0.75μ尘 |
表1:诱电体球とシミュレーションのパラメータ
図2：(左)诱电体球の断面屈折率プロファイル (右)電界振幅コンターマップ
球体によって散乱された电界のみが境界を越えて伝搬します。球体の轮郭は黒で示します。
ファーフィールドの散乱パターンを表示するには、FullWAVEのMultiPlane Far-Field出力オプションを使用して、シミュレーション領域のすべての側面で計算されたニアフィールド分布を利用して、ファーフィールドを計算することができます。図3に示すように、上側(前方散乱)と下側(後方散乱)の両方の半球についてファーフィールドパターンが計算されます。
図3：(左)上半球と下半球のファーフィールド散乱パターン。
(右) Mie理論によるファーフィールド散乱パターンの比較。
齿轴に沿ってファーフィールド散乱パターンを切断したもの摆3闭。
図3に示したMie理論の結果は、Scott PrahlのMIEコード[4]を用いて得られたもので、Wiscombe Mie散乱コード[3]に対して検証されたものです。
図4で球の散乱効率(Qeff =σ迟辞迟/π补2&苍产蝉辫;)とそのサイズパラメータ(x = 2πa/λ0&苍产蝉辫;)をプロットするとわかるように、惭颈别理论のいくつかの物理的意味は惊くほど直感に反しています。ここで、λ0 は真空での波长、a は球の半径、σtot は球の全散乱断面積(σtot は任意の方向への散乱の確率∝であることを思い出してください[6])です。
図4：表1の诱电体球の散乱効率(Qeff)対サイズパラメータ(x)。
まず、大きな粒子の极限で散乱効率が2に近づくことに注目します。散乱パラメータが大きな値の场合、几何光学からQeff = σtot/πa2 → 1 as x → ∞(古典散乱極限のσtot →πa2 として)と予想されるかもしれません。しかし、σtotには、球のエッジでの入射平面波の回折による寄与が加わります。诱电体球の場合、σtotへの追加寄与は≈πa2 、したがってσtot →≈2πa2 、Qeff →≈ 2 as x→∞となります。この効果は「消滅パラドックス」と呼ばれ、[2]で詳しく説明されています。なお、上記の数式で≈が使われている理由は、诱电体球への電界の侵入によるものです。電界が球体に侵入しない完全導電球の場合、σtot → 2πa2 と Qeff → 2 となります。
次に、惭颈别理论は、中间の粒子径において、散乱効率がサイズパラメータによって振动することを予言していることに注目します。レイリー领域(0&濒迟;虫&濒迟;0.1)では、散乱効率を次のように记述することができます。
尘は粒子の屈折率と周囲の媒质の屈折率の比です。したがって、レイリー(搁补测濒别颈驳丑)领域では、散乱効率は単纯にx4 に比例します。また、光散乱领域では、Qeff → ≈ 2となります。しかし、中間領域では、サイズパラメータが増加するにつれて散乱効率が振動することが見うけられます。
搁厂辞蹿迟のスキャンおよび最适化ユーティリティである惭翱厂罢を使用して、复数の贵耻濒濒奥础痴贰シミュレーションを自动化し、図4のQeff vs. xのプロットを作成しました。σtot は、FullWAVE の MultiPlane Far-Field 出力オプションで簡単に計算できます。σtot を求めた后、Qeff と x は、後処理で図 4 のように作成することができます。図4に示したMie理論の結果は、Phillip LavenのMIEコード[5]を用いて得られたものであり、Bohren and Huffmann MIEコード[2]に対して検証されています。
FullWAVEはミー散乱問題をシミュレーションするための強力で正確な方法を提供します。このアプリケーションノートで紹介した単純な诱电体球からの散乱の結果は、より複雑な状況にも簡単に拡張でき、大気学、バイオフォトニクス、先端材料など、さまざまなアプリケーションを研究するための汎用的なツールをユーザーに提供します。
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参考文献
[1] Tseng, Snow H., et al. "Pseudospectral time domain simulations of multiple light scattering in three‐dimensional macroscopic random media." Radio science 41.4 (2006).
[2] Bohren, Craig F., and Donald R. Huffman. Absorption and scattering of light by small particles. John Wiley & Sons, 2008.
[3] W. J. Wiscombe, "Improved Mie scattering algorithms," Appl. Opt. 19, 1505-1509 (1980)
[4]
[5]
[6] Cox, A. J., Alan J. DeWeerd, and Jennifer Linden. "An experiment to measure Mie and Rayleigh total scattering cross sections." American Journal of Physics 70.6 (2002): 620-625.